На конгресс собрались ученые среди которых есть знакомые

Ученые выяснили, куда на самом деле смотрит Мона Лиза

На конгресс собрались ученые, среди которых есть Доказать, что найдется ученый, который имеет ровно одного друга из числа. Оказалось, что среди любых пяти из них найдется по крайней мере один На первое заседание Верховного Совета нового созыва собралось 80 депутатов. . что депутатов, знакомых со всеми остальными, не менее б) Пусть 5k = .. Поэтому будем считать, что есть ученый, у которого на конгрессе не. На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число.

Последние лет продолжается Мегхалаий Meghalayan - наш нынешний ярус. Он начался с опустошающей глобальной засухи, которая примерно за лет погубила многие древние цивилизации. Итак, вот наш новый "временной адрес" - согласно иземенениям в стратиграфической шкале: Фанерозойский эон Кайнозойской эры Четвертичного периода эпохи Голоцена Мегхалаийского яруса. Далеко не все согласны с нашей новой "пропиской".

условие и решение

И полагают, что никакой сейчас не Мегхалаий, а самый настоящий Антропоцен — ярус, который отличается погубным влиянием человеческой деятельность на окружающую среду. Опять же в глобальном масштабе. Земля находится в стадии очередного - шестого - массового вымирания, которое организовало само человечество. Спровоцировало своей антропогенной деятельностью - разрушительной для планеты.

Согласно выводам, которые американские биологи из Принстонского, Стэнфордского, Калифорнийского университетов и их мексиканские коллеги из Национального автономного университета Мехико изложили в докладе, опубликованном в журнале Science Advances, антропоцен кончится тем, что и люди исчезнут в числе других уже обреченных видов.

Как пояснил профессор-эколог Пол Эрлих Paul Ehrlichс года наш мир безвозвратно покинули видов позвоночных. И если прежде раз в лет вымирали от силы два вида млекопитающих, ныне скорость исчезновения увеличилась почти в.

И приближается к той, с которой виды вымирали 65 миллионов лет назад, когда Земля рассталась с динозаврами. По данным его специалистов, биоресурсы Земли за 40 последних лет сократились примерно на треть. Иными словами, треть нашей планеты мы уже "употребили" на свои нужды - съели и переварили, сожгли, вырубили, отравили. При чем скорость употребления растет год от года. Эксперты назвали самые расточительные страны - те, которые потребляют непозволительно много биоресурсов на душу населения.

Если бы все жили столь нагло, как в экологически неблагонадежных странах, то для дальнейшего существования цивилизации нынешнюю людскую массу следовало бы расселить по пяти таким планетам, как наша. Россия, кстати, относится к своей части Земли весьма бережно - по сравнению со многими другими. В недавне докладе эксперты попутно отметили: Жизнь на планете становится скуднее.

По данным WWF, каждый год с нее пропадают 25 тысяч видов животных и растений. Предположительная причина - движение суперконтинента Гондвана, повлекшее за собой похолодание и падение уровня воды в мировом океане. Предположительная причина - отравление воды продуктами вулканической деятельности. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKD. Покажем сначала, что если n четное, то школьника, знакомого со всеми остальными участниками олимпиады, может не.

Тогда всех участников олимпиады можно разбить на k пар. Пусть в каждой такой паре участники незнакомы друг с другом, а любые два участника из разных пар — знакомы друг с другом. Тогда нет ни одного участника, знакомого со всеми остальными на олимпиаде. В то же время, каких бы 5 участников ни взять, среди них самое большее могут оказаться две такие пары. Это значит, какойто из пяти не будет иметь в данной пятерке парного ему того, с кем он не знаком и, значит, будет знаком с другими четырьмя из этой пятерки.

Итак, чтобы можно было утверждать, что на олимпиаде присутствует школьник, знакомый со всеми участниками олимпиады, необходимо, чтобы n было нечетным. Покажем, что при всех возможных нечетных n такой школьник найдется.

Предположим противное, у каждого школьника есть хотя бы один незнакомый ему участник олимпиады. Тогда, поскольку n нечетное, найдется школьник А, у которого не менее 2 незнакомых на олимпиаде пусть это школьники Б и В. В противном случае всех участников олимпиады можно было бы разбить на пары так, что в каждой паре школьники не знакомы друг с другом, а школьники из разных пар знакомы друг с другом.

Поэтому этот школьник знаком со всеми остальными. Поэтому и правая часть этого равенства должна быть взаимно проста с s. Пусть k — нечетное. Покажем, что в этом случае на конференции может не быть школьника, знакомого со всеми остальными участниками конференции. Действительно, разобьем всех школьников, участвующих в конференции, на 50 пар. Пусть в каждой паре школьники не знакомы друг с другом, а любые два школьника из разных пар — знакомы.

Информация о задаче

Тогда, так как у каждого есть незнакомый, никто не может быть знаком со всеми. В то же время, для любых k школьников условия задачи выполняются. Среди выбранных k школьников поскольку их количество нечетное хотя бы для одного парный ему школьник тот единственный, с кем он не знаком не входит в число данных k школьников.

Предположим, что при выполнении условий задачи нет школьника, знакомого со всеми участниками конференции. Если у каждого ровно один незнакомый, то всех участников можно разбить на 50 пар так, что в каждой паре будут незнакомые школьники, а любые два школьника из разных пар будут знакомы. Если выбрать k школьников, составляющих m таких пар, то у каждого из этих школьников будет незнакомый среди выбранных k школьников.

Это противоречит условию задачи. Поэтому будем считать, что есть школьник, у которого не менее 2 незнакомых на конференции. Для указанных k школьников условие задачи, очевидно, не выполняется: В остальных случаях рассмотрим граф "незнакомств". Всех школьников изобразим в виде точек на плоскости вершины графа. Если какие-то школьники не знакомы друг с другом, то соединим соответствующие вершины непрерывными линиями ребрами.

Две вершины будем называть связанными, если в графе существует путь, ведущий по ребрам минуя, возможно, другие вершины от одной вершины до. Рассмотрим какую-либо конкретную вершину графа и все другие вершины с которыми связана данная вершина.

Тогда легко видеть, что каждая из этих вершин связана с каждой из этих вершин. Совокупность всех этих вершин вместе со всеми ребрами, которые между ними существуют, будем называть компонентой связности графа. Тогда граф разбивается на компоненты связности. Каждая вершина и каждое ребро принадлежит только одной компоненте связности. Далее, заметим, что если в компоненте связности более двух вершин, то из нее можно удалить одну вершину и выходящие из нее ребра так, что по-прежнему каждая из оставшихся вершин будет связана со всеми другими оставшимися вершинами, в частности, не появится такой вершины, от которой не будет проведено ни одно ребро.

Такой вершиной может быть любая вершина, от которой отходит только одно ребро. Если же такой вершины нет, то удалим из компоненты связности одно ребро или несколько не удаляя вершин до тех пор, пока такая вершина не появится. После этого удалим такую вершину удаленные ребра, кроме тех, которые связаны с данной вершиной, можно восстановить.

Теперь покажем, что в графе "незнакомств" можно всегда выбрать k вершин так, что каждая из них будет связана ребром хотя бы с одной из выбранных.

Старение - это заболевание - Михаил Батин - TEDxSadovoeRing

Это будет означать, что существует k школьников, среди которых ни один не знаком со всеми остальными из этих k. Действительно, выберем компоненту связности в которой k или более вершин.

Если такой нет, то — компоненту с наибольшим числом вершин, и добавим к ней еще одну компоненту или, при необходимости, еще одну, а затем еще одну и. Если вершин получилось больше, чем kто удалим одну вершину из какой-нибудь компоненты, в которой более двух вершин случай, когда во всех компонентах ровно по две вершины, уже рассмотрен ранеетак, как описано выше.

Будем повторять при необходимости такие удаления до тех пор, пока не останется ровно k вершин. Ясно, что оставшиеся k вершин — как раз те, что и требуется. Итак, если k четное и на конференции нет школьника, знакомого со всеми остальными участниками конференции, то условия задачи не выполняются.

Следовательно, в этом случае на конференции обязательно найдется школьник, знакомый со всеми остальными участниками конференции. Значит, в этом случае n не меньше, чем наименьшая из разностей между соседними из 4-х степеней натуральных чисел.

Принцип крайнего | 7 класс | Кружки | Малый мехмат МГУ

Сложим все три уравнения системы: Таким образом, решения системы должны удовлетворять условиям 1, 1, 1, 1,01,01,0. Пусть сначала n — четное. Покажем что тогда и k должно быть четным. Предположим, что это не так. В таком случае, на конгрессе может не быть ученого, знакомого со всеми остальными участниками конгресса.

Действительно разобьем всех n ученых на пары. Так как их количество n является четным, это можно сделать. Пусть в каждой паре ученые не знакомы друг с другом, а любые два ученых из разных пар — знакомы.

В то же время, для любых k ученых условия задачи выполняются. Среди выбранных k ученых поскольку их количество нечетное хотя бы для одного парный ему ученый тот единственный, с кем он не знаком не входит в число данных к ученых. Предположим что при выполнении условий задачи на конгрессе нет ученого, знакомого со всеми участниками конгресса. Если у каждого ровно один незнакомый, то всех n участников можно разбить на пары так, что в каждой паре ученые будут не знакомы, а любые два ученых из разных пар будут знакомы.

Если выбрать k ученых, составляющих m таких пар, то у каждого из них будет незнакомый среди выбранных k ученых. Поэтому будем считать, что есть ученый, у которого на конгрессе не менее двух незнакомых. Для указанных k ученых условие задачи, очевидно, не выполняется: Всех ученых изобразим в виде точек на плоскости вершины графа.

Если какие-то ученые не знакомы друг с другом, то соединим соответствующие вершины непрерывными линиями ребра графа. Две вершины в графе будем называть связанными, если в графе существует путь, ведущий по ребрам минуя, возможно, другие вершины от одной вершины до. Рассмотрим какую-либо конкретную вершину графа и все другие вершины, с которыми связана данная вершина. Далее, заметим, что если в компоненте связности более двух вершин, то из нее можно удалить одну вершину и выходящие из нее ребра так, что по-прежнему каждая из оставшихся вершин будет связана со всеми другими оставшимися вершинами, в частности не появится такой вершины, от которой не будет проведено ни одно ребро.

Такой вершиной, может быть любая вершина, от которой отходит только одно ребро. После этого удалим такую вершину удаленные ребра, кроме тех которые связаны с данной вершиной, можно восстановить.

Мегхалаий — так ученые назвали время, в котором мы сейчас живем

Это будет означать, что существует k ученых, среди которых ни один не знаком со всеми остальными из этих k. Итак, если k четное и на конгрессе нет ученого, знакомого со всеми остальными участниками конгресса, то условия задачи не выполняются. Следовательно, в этом случае когда n четное и k четное на конгрессе обязательно найдется ученый, знакомый со всеми остальными участниками конгресса. Пусть теперь n — нечетное.

Предположим, что на конгрессе нет ученого, знакомого со всеми участниками конгресса. Тогда у каждого из них на конгрессе есть хотя бы один незнакомый, причем, так как n нечетное, у кого-то — их не менее двух. Таким образом, если n четное, то при любом допустимом k можно утверждать, что на конгрессе присутствует ученый, знакомый со всеми остальными участниками конгресса. Дана окружность S и хорда АВ этой окружности. Найдите геометрическое место точек У, когда точка X пробегает все точки окружности S за исключением А и В.

Обозначим через D n количество всех делителей натурального числа nсчитая 1 и само число n. Даны 25 куч камней, содержащие соответственно 2 2 2 1 ,2За один ход разрешается переложить ровно один камень из любой кучи содержащей не менее двух камней в любую другую кучу. За какое наименьшее число ходов можно получить 25 куч, содержащих соответственно 17 1,17 2, В прямой круговой усеченный конус вписана сфера то есть она касается боковой поверхности по окружности, а также касается обоих оснований.

Разность между площадью боковой поверхности усеченного конуса и суммой площадей оснований равна. Найдите радиус вписанной сферы. Пусть А и В — точки пересечения этих прямых с параболой, отличные от точки О — начала координат. Докажите, что треугольник ОАВ прямоугольный. На олимпиаде по математике было предложено пять задач.

Все они оказались разной сложности, и поэтому никакие две задачи не были оценены одинаковым числом баллов. В результате проверки все участники за каждую решенную задачу получили полное целое положительное число баллов. За нерешенные задачи все получили по 0 баллов.

При этом для каждой задачи сумма баллов, полученных за нее всеми участниками, оказалась одна и та. Вася решил все задачи и набрал 30 баллов. Какое наименьшее число школьников могло участвовать в этой олимпиаде?

На плоскости нарисованы отрезок АВ и луч АС. Пусть У — вторая точка пересечения S с прямой ВХ. Найдите геометрическое место точек У, когда точка X пробегает луч АС. Чтобы составить команду для участия в олимпиаде, учитель решил провести отбор среди лучших Математиков 9 класса. Он предложил 4 задачи. Все они оказались разной сложности, и поэтому никакие две задачи не были оценены равными числами баллов. В результате проверки все участники отбора за каждую решенную задачу получили полное целое положительное число баллов.

Петя решил все задачи и набрал 30 баллов. Какое наименьшее число школьников могло участвовать в отборе? Докажите, что точки С, К, L лежат на одной прямой. На математической конкурсе в 9 классе было предложено несколько трудных и несколько легких; задач. За каждую решенную трудную задачу участник получал 4 балла, за легкую 2 балла. Но за каждую нерешенную легкую задачу у участника 2 балла вычитались.

За нерешенную трудную задачу баллы не вычитались. Саша решил 12 задач и набрал 20 баллов. Сколько легких задач было на конкурсе? На математическом конкурсе в 8 классе было предложено несколько трудных и несколько легких задач. За каждую решенную трудную задачу участник получал 3 балла, за легкую 2 балла. Но за каждую нерешенную легкую задачу у участника вычитался 1 балл. Миша решил 10 задач и набрал 14 баллов.

Однако он получил только 14 баллов и, значит 16 баллов потерял. Если вместо трудной задачи он решил легкую, то вместо 3 баллов он получил 2, то есть потерял 1 балл. За каждую нерешенную легкую задачу он по условию также терял 1 балл.

Итак, за каждую легкую задачу независимо от того, решил он ее, или нет Миша терял ровно 1 балл. Так как всего он потерял 16 баллов, то и число легких задач также равно Пусть x легких задач Миша решил, а y легких задач не. Следовательно, общее количество легких задач равно Полученное противоречие и доказывает, что требуемая в условии точка М не существует.

Поэтому пар чисел ,a bудовлетворяющих условию задачи, существует бесконечно. Пусть S n — сумма всех чисел в таблице. Поскольку все iS делятся на 4, то и их сумма S n также должна делиться на 4.